Ruang Baris, Ruang Kolom, Dan Ruang Nul

BASIS DAN BASIS RUANG VEKTOR

NAMA            : LILY FITRI HASANAH
NIM                 : 202231001
KELAS            : A
JURUSAN    : S1 TEKNIK INFORMATIKA

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

S bebas linier
S membangun V

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u₁, u₂,…,u_n} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R³. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R³ berdimensi tiga.

RUANG BARIS, RUANG KOLOM DAN RUANG NUL

Devinisi (Vektor-vektor baris dan kolom)

Misalkan A adalah suatu matriks m x n,

vektor-vektor

dalam R n yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor-vektor baris dari A.

Devenisi

Jika Aadalah matriks matriks 𝑚×𝑛 maka subruang dari 𝑅^n yang direntang oleh vektor -vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari 𝑅^m yang yang direntang oleh vektor -vektor kolom dari dari A disebut disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang yang homogen 𝐴𝑥=0 yang merupakan subruang dari 𝑅^n disebut ruang null dari A.

Teorema

Jika A dan dan B adalah matriks -matriks yang ekuivalen baris, maka

Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari dari A tertentu adalah bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersesuaian dari B adalah bebas linear
Suatu himpunan vektor-vektor kolom kolom dari A tertentu membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor -vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.

Teorema

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk Suatu basis untuk ruang kolom dari R

Teorema

Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama.

Rank = Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom

Nulitas = Dimensi ruang null dari A

Jika A adalah matriks dengan n kolom, maka :

Rank (A) + Nulitas (A) = n

Contoh :